Электронный пучок фокусируется положительным объёмным зарядом прямого ионного пучка с круглым сечением. На каком расстоянии от входа в ионный пучок фокусируются электроны, если их скорость на входе \(v\), а плотность заряда и длина ионного пучка \(\rho\) и \(l\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
По теореме Гаусса поле внутри длинного цилиндра с объёмной плотностью \(\rho\)
\[ E_r=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}. \]На электрон (заряд \(-e\)) действует сила к оси:
\[ m_e\ddot r=-e E_r=-\frac{e\rho}{2\varepsilon_0}\,r. \]Это уравнение гармонических колебаний \(\ddot r+\omega^2 r=0\) с частотой
\[ \omega=\sqrt{\frac{e\rho}{2\varepsilon_0 m_e}}. \]Электрон влетает в столб параллельно оси: в момент входа \(r=r_0\), \(\dot r=0\). Решение
\[ r(t)=r_0\cos\omega t. \]Впервые \(r=0\) при \(\omega t=\pi/2\), то есть через четверть периода \(t=\pi/(2\omega)\). За это время электрон пролетает вдоль оси расстояние
\[ x=vt=v\cdot\frac{\pi}{2\omega}=v\cdot\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m_e}{e\rho}} =v\pi\sqrt{\frac{m_e\varepsilon_0}{2e\rho}}. \]Это ответ, если фокус лежит ещё внутри столба (\(x\le l\)).
Если столб короткий и \(\omega l/v<\pi/2\), электрон выходит из него, не успев дойти до оси. Внутри он набирает поперечную скорость
\[ v_r=\dot r(t=l/v)=-r_0\omega\sin(\omega l/v), \]а радиус на выходе \(r_{\text{вых}}=r_0\cos(\omega l/v)\). Дальше поля нет, электрон летит по прямой и пересекает ось через время \(r_{\text{вых}}/|v_r|\). Добавка к координате
\[ \Delta x=v\cdot\frac{r_{\text{вых}}}{|v_r|}=v\cdot\frac{\cos(\omega l/v)}{\omega\sin(\omega l/v)} =\frac{v}{\omega}\operatorname{ctg}\frac{\omega l}{v}. \]Итого, отсчитывая от входа в столб,
\[ x=l+\frac{v}{\omega}\operatorname{ctg}\frac{\omega l}{v} =l+v\sqrt{\frac{2\varepsilon_0 m_e}{e\rho}}\, \operatorname{ctg}\Biggl(\frac{l}{v}\sqrt{\frac{e\rho}{2\varepsilon_0 m_e}}\Biggr). \]