Во сколько раз изменится фокусное расстояние длиннофокусной тонкой одиночной линзы, если: а) энергию фокусируемых частиц увеличить в \(k\) раз? б) напряжение на линзе увеличить в \(k\) раз? При расчёте тонких одиночных линз изменением траектории частиц в области линзы, связанным с действием на частицы поля линзы, пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Электрон летит вдоль оси со скоростью \(v=\sqrt{2eV_0/m}\). В области линзы на него действует поперечное поле \(E_\perp\), связанное с потенциалом линзы: \(E_\perp\sim V/R\), где \(R\) — характерный размер отверстия. Время пролёта тонкой линзы \(\tau\approx L/v\) (\(L\) — её толщина). Поперечный импульс, который линза «дарит» электрону,
\[ p_\perp=e\int E_\perp\,dt\sim e\cdot\frac{V}{R}\cdot\frac{L}{v}. \]Продольный импульс \(p=mv=\sqrt{2meV_0}\). Угол, на который заворачивается траектория,
\[ \alpha=\frac{p_\perp}{p}\sim\frac{eVL}{R\,mv^2}\sim\frac{V}{V_0}\cdot\frac{L}{R}. \]По определению фокусного расстояния параллельный оси луч, прошедший линзу на высоте \(r\), пересекает ось на расстоянии \(f=r/\alpha\). Значит
\[ f\propto\frac{V_0}{V}. \]В условии сказано: изменением траектории внутри линзы пренебречь. Именно поэтому \(\tau=L/v\) считается по невозмущённой скорости, и никакого другого параметра в ответ не входит.
а. Энергию частиц увеличили в \(k\) раз: \(V_0\to kV_0\). Тогда \(f\to kf\) — фокусное расстояние увеличится в \(k\) раз. Пучок стал жёстче, линза его хуже гнёт.
б. Напряжение на линзе увеличили в \(k\) раз: \(V\to kV\). Тогда \(f\to f/k\) — фокусное расстояние уменьшится в \(k\) раз. Поле сильнее, углы больше, фокус ближе.