Выведите формулу длиннофокусной тонкой линзы \(1/a+1/b=1/f\), где \(f\) — фокусное расстояние, \(a\) — расстояние от источника электронов до линзы, \(b\) — расстояние от места, где фокусируются электроны, до линзы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Будем описывать луч двумя числами: высотой \(y\) над осью и наклоном \(y'=dy/dx=\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha\). Пусть источник электронов лежит на оси на расстоянии \(a\) до линзы. Луч, который подходит к линзе на высоте \(y\), имеет до линзы наклон
\[ y'_-=\frac{y}{a} \](он вышел из точки на оси и поднялся на \(y\) за путь \(a\)).
Что делает линза? По определению фокусного расстояния параллельный пучок (\(y'_-=0\)) после линзы идёт к оси под углом \(y/f\). Значит, линза всегда добавляет к наклону величину \(-y/f\), независимо от того, каким был наклон на входе:
\[ y'_+=y'_--\frac{y}{f}=\frac{y}{a}-\frac{y}{f}. \]После линзы луч летит прямо. Чтобы он пересёк ось на расстоянии \(b\) за линзой, его наклон должен быть равен \(-y/b\):
\[ \frac{y}{a}-\frac{y}{f}=-\frac{y}{b}. \]Сокращаем \(y\) (луч не осевой, \(y\neq0\)) и переносим члены:
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}. \]Это и есть формула тонкой линзы. Она не знает, электрическая линза или стеклянная: ей важно только, что «толчок» пропорционален высоте и что сама линза тонкая.
В формулировке условия легко прочитать «плюс равно» без знака равенства между \(1/b\) и \(1/f\). Правильно именно
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}. \]