На каком расстоянии от оси линзы пучок электронов, исходящий из точки \(A\) с координатами \(-x_0\) и \(y_0\), фокусируется длиннофокусной линзой с фокусным расстоянием \(f\), расположенной в начале координат? \(y_0\ll x_0,\,f\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Линза стоит в начале координат, источник — в точке \(A=(-x_0,\,y_0)\). Предметное расстояние есть просто \(a=x_0\) (линза тонкая, лежит в плоскости \(x=0\)). Формула тонкой линзы из задачи 7.2.4 даёт изображение на оси \(x=b\), где
\[ \frac{1}{x_0}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}\qquad\Longrightarrow\qquad b=\frac{x_0 f}{x_0-f}. \]Пока \(x_0>f\), величина \(b\) положительна: изображение действительное и лежит справа от линзы.
Луч, идущий через оптический центр, не преломляется. Он выходит из \(A\) и проходит через \((0,0)\), поэтому его уравнение \(y=-(y_0/x_0)x\). В плоскости изображения \(x=b\)
\[ y_{\text{изобр}}=-\frac{y_0}{x_0}\cdot b=-\frac{y_0 f}{x_0-f}. \]Тот же результат даёт линейное увеличение
\[ \Gamma=-\frac{b}{a}=-\frac{f}{x_0-f},\qquad y_{\text{изобр}}=\Gamma y_0. \]Знак минус означает, что изображение перевёрнуто: если источник был выше оси, изображение окажется ниже. Но в условии спрашивают расстояние от оси, то есть модуль:
\[ y=\frac{y_0 f}{x_0-f}. \]Условие \(y_0\ll x_0,\,f\) как раз и оправдывает параксиальное приближение: углы малы, \(\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha\), и формула тонкой линзы применима.