Для электронов, испускаемых одной обкладкой конденсатора, круглое отверстие во второй обкладке является одиночной линзой, если радиус отверстия много меньше расстояния между обкладками \(d\).
а. Зависит ли фокусное расстояние этой линзы от разности потенциалов между обкладками?
б*. Определите фокусное расстояние этой линзы, используя формулу, приведённую в задаче 7.1.27а. Начальной скоростью электронов пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Электрон стартует с первой обкладки почти с нулевой скоростью и у отверстия имеет энергию \(eV\). Поле в конденсаторе \(E=V/d\) тоже пропорционально \(V\). Угол, который набирает электрон на краю отверстия, есть отношение «работы поперечного поля» к кинетической энергии, то есть величина порядка \(E\cdot R/(V)\sim R/d\). В неё \(V\) не входит. Значит, фокусное расстояние от разности потенциалов не зависит.
б. Аккуратно воспользуемся формулой из задачи 7.1.27. Возьмём мысленный цилиндр радиуса \(r\), один торец которого лежит в плоскости отверстия, другой — глубоко в конденсаторе, где поле однородно и равно \(E=V/d\). Поток поля через этот цилиндр равен \(\Phi=\pi r^2 E\) (снаружи, за обкладкой, поля нет). Поперечный импульс, который электрон получает у кромки,
\[ p_\perp=\frac{e\Phi}{2\pi r\,v}=\frac{e r E}{2v}. \]Скорость у отверстия находим из энергии: \(mv^2/2=eV=eEd\), то есть \(v^2=2eEd/m_e\). Фокусное расстояние — это отношение \(r\cdot mv/p_\perp\):
\[ f=\frac{r\cdot m_e v}{p_\perp}=\frac{r\cdot m_e v\cdot 2v}{e r E}=\frac{2m_e v^2}{eE}=\frac{2\cdot 2eEd}{eE}=4d. \]Осталось понять знак. Краевое поле у отверстия «выпучивается» из конденсатора наружу. Электрон, вылетающий из конденсатора, получает импульс от оси. Линза рассеивающая:
\[ f=-4d. \]Тот же результат даёт общая формула Дависсона–Калбика \(1/f=(E_2-E_1)/(4\Phi)\), где \(\Phi=V\) — «вольты пучка» на диафрагме: \(E_1=V/d\), \(E_2=0\), \(1/f=-(V/d)/(4V)=-1/(4d)\).