Параллельный пучок протонов, ускоренных разностью потенциалов \(V_0\), летит вдоль оси двух круглых небольших соосных отверстий в обкладках конденсатора. На каком расстоянии от второй обкладки сфокусируется этот пучок, если потенциал второй обкладки равен \(V\)? Первая обкладка заземлена. Расстояние между обкладками \(d\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле между пластинами \(E=V/d\), снаружи — нуль. Протон влетает с энергией \(eV_0\); у второй дырки его энергия уже \(e(V_0+V)\), потому что поле его разгоняет.
Две линзы. Первая диафрагма: \(E_1=0\), \(E_2=V/d\), \(\Phi=V_0\),
\[ \frac{1}{f_1}=\frac{V/d}{4V_0}=\frac{V}{4d V_0},\qquad f_1=\frac{4d V_0}{V}. \]Вторая: \(E_1=V/d\), \(E_2=0\), \(\Phi=V_0+V\),
\[ \frac{1}{f_2}=-\frac{V}{4d(V_0+V)}. \]Первая собирает, вторая рассеивает, и \(|f_1|<|f_2|\): в целом система собирающая.
Фокус внутри зазора (\(V\) велико). Протон после первой дырки получает радиальную скорость \(v_r=r v_0/f_1\), где \(v_0=\sqrt{2eV_0/m}\). Внутри конденсатора радиальное поле отсутствует (однородное поле вдоль оси), поэтому \(v_r\) сохраняется, и радиус убывает как \(r(t)=r-v_r t\). Пересечение оси: \(t_*=r/v_r=f_1/v_0\). Вдоль оси движение равноускоренное, \(a=eV/(md)\):
\[ x=v_0 t_*+\frac{a t_*^2}{2} =\frac{4d V_0}{V}+\frac12\cdot\frac{eV}{md}\cdot\frac{16 d^2 V_0^2}{V^2 v_0^2}. \]Подставляем \(v_0^2=2eV_0/m\) и получаем красивое
\[ x=\frac{8d V_0}{V}. \]Фокус лежит между пластинами, если \(x<d\), то есть при \(V>8V_0\). При \(V=8V_0\) он попадает ровно во вторую дырку.
Фокус за второй обкладкой (\(V<8V_0\)). Пучок доезжает до второй дырки, имея ещё ненулевой радиус, проходит рассеивающую линзу и летит в свободном пространстве. После склейки наклонов (скорость вдоль оси у второй дырки \(v_d=\sqrt{2e(V_0+V)/m}\), время пролёта зазора \(t=2d/(v_0+v_d)\)) расстояние от второй обкладки равно
\[ b=\frac{4d}{3}\Biggl[\Bigl(1+\frac{V_0}{V}\Bigr) \Biggl(2\frac{V_0}{V}+2\sqrt{\frac{V_0}{V}\Bigl(\frac{V_0}{V}+1\Bigr)}-1\Biggr)\Biggr]. \]При \(V\ll V_0\) это переходит в \(b\approx 4d\,V_0^2/V^2\): слабая составная линза, фокус далеко.