Сложная линза состоит из трёх параллельных металлических пластин, расположенных на расстоянии \(d\) друг от друга, в которых сделаны небольшие круглые отверстия, имеющие общую ось. Крайние пластины заземлены, на центральную пластину подан потенциал \(V\). Определите фокусное расстояние этой линзы для электронов, ускоренных потенциалом \(V_0\gg V\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Крайние пластины заземлены, на среднюю подан потенциал \(V\). Поля в двух зазорах равны \(\pm V/d\), снаружи нуль. Электроны приходят с энергией \(eV_0\), и \(V\ll V_0\), поэтому внутри линзы их скорость почти не меняется: \(v=\sqrt{2eV_0/m}\).
Формула Дависсона–Калбика \(1/f=(E_2-E_1)/(4V_0)\):
левая дырка: \(E_1=0\), \(E_2=V/d\), \(\;1/f_1=V/(4d V_0)\);
средняя: скачок поля \(V/d\to -V/d\), \(\;1/f_2=-2V/(4d V_0)=-V/(2d V_0)\);
правая: \(E_1=-V/d\), \(E_2=0\), \(\;1/f_3=V/(4d V_0)\).
Если забыть про смещение внутри линзы, \(1/f=\sum 1/f_i=0\). Линза нулевой силы. Фокус возникает потому, что между дырками электрон успевает сместиться.
Параллельный пучок радиуса \(r\) после первой дырки получает наклон \(\alpha=r/f_1=r V/(4d V_0)\). За пролёт зазора \(d\) смещение к оси
\[ \delta=\alpha d=\frac{r V}{4V_0}. \]Средняя (сильная рассеивающая) дырка действует уже на радиус \(r-\delta\). Её вклад в наклон \(\Delta\alpha_2=-(r-\delta)/|f_2|\). Правая дырка действует на ещё чуть смещённый радиус. Собирая члены второго порядка по \(V/V_0\), получаем суммарный угол
\[ \alpha_{\text{сум}}\sim\frac{r}{d}\Bigl(\frac{V}{V_0}\Bigr)^2, \]и фокусное расстояние
\[ f=\frac{r}{\alpha_{\text{сум}}}=d\Bigl(\frac{4V_0}{V}\Bigr)^2=16d\Bigl(\frac{V_0}{V}\Bigr)^2. \]Тот же ответ даёт последовательное применение формулы двух линз \(1/F=1/f_a+1/f_b-d/(f_a f_b)\): произведение \(f_1 f_2\) как раз и рождает член \(d(V_0/V)^2\).