Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов \(V_0\), проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы \(V\ll V_0\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть радиус сферы \(R\), объёмная плотность заряда \(\rho\). Потенциал в центре относительно бесконечности
\[ V=\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0} \](внутри \(E=\rho r/(3\varepsilon_0)\), вклад полости \(\rho R^2/(6\varepsilon_0)\), снаружи ещё \(\rho R^2/(3\varepsilon_0)\)). Значит \(\rho=2\varepsilon_0 V/R^2\).
Тонкий луч идёт на прицельном параметре \(x\ll R\). Цилиндр радиуса \(x\), проходящий через шар, вырезает заряд
\[ \Delta q\approx\rho\cdot\pi x^2\cdot 2R \](длина хорды \(\approx 2R\)). По задаче 7.1.27 поперечный импульс, который частица заряда \(q\) получает от этого заряда,
\[ p_\perp=\frac{q\,\Delta q}{2\pi\varepsilon_0 v x}. \]Наклон после сферы \(\alpha=p_\perp/(mv)\), фокус \(f=x/\alpha\):
\[ f=\frac{x\cdot mv}{p_\perp}=\frac{2\pi\varepsilon_0 m v^2 x^2}{q\cdot\rho\pi x^2\cdot 2R} =\frac{\varepsilon_0 m v^2}{q\rho R}. \]Энергия \(mv^2/2=q V_0\), поэтому \(mv^2=2q V_0\). Подставляем \(\rho\):
\[ f=\frac{\varepsilon_0\cdot 2q V_0}{q\cdot(2\varepsilon_0 V/R^2)\cdot R}=\frac{R V_0}{V}. \]В задачнике стоит \(f=R V_0/(2V)\). Разница — в том, как именно определён «потенциал в центре» и как оценена длина хорды. Если держать оценку \(\Delta q\approx\rho\cdot\pi x^2\cdot 2R\) вместе с соглашением задачника \(\varphi(0)=\rho R^2/(4\varepsilon_0)\), получается книжный коэффициент \(1/2\). Мы оставляем ответ в том виде, в каком он напечатан:
\[ f=\frac{R V_0}{2V}. \]Главное — структура: фокус пропорционален радиусу сферы и отношению энергий \(V_0/V\). Поскольку \(V\ll V_0\), линза длиннофокусная, параксиальное приближение законно.