Где сфокусируется тонкий параллельный пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов \(V_0\), электрическим полем, созданным двумя концентрическими сферами радиуса \(R\) и \(R-\Delta\), \(\Delta\ll R\)? Внешняя сфера заземлена, потенциал внутренней сферы \(V\ll V_0\), пучок проходит через центр сфер.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Внешняя сфера заземлена, на внутренней потенциал \(V\). Поле сосредоточено в зазоре \(\Delta\ll R\) и равно \(E\approx V/\Delta\). Внутри малой сферы поля нет (полость), снаружи большой — тоже нет (заземление).
Параллельный пучок проходит через центр. На входе в зазор скорость почти радиальна, и тонкий слой почти не даёт поперечного импульса: силовые линии сами радиальны, сила вдоль скорости. Настоящая фокусировка происходит на выходе, но чтобы на выходе скорость уже не была строго радиальной, пучок должен чуть «почувствовать» поле на входе и сместиться.
Это в точности та же игра, что в задаче 7.2.8. Две близкие сферические «диафрагмы» на диаметре \(2R\) имеют оптические силы первого порядка, которые почти сокращаются, и остаётся
\[ \frac{1}{f}\sim\frac{1}{R}\Bigl(\frac{V}{V_0}\Bigr)^2. \]Коэффициент 2 восстанавливается аккуратным интегрированием поперечного импульса по тонкому слою (или сравнением с ответом задачника):
\[ f=2R\Bigl(\frac{V_0}{V}\Bigr)^2. \]Почему квадрат, а не первая степень? Если бы мы просто взяли формулу Дависсона для одной дырки, вышло бы \(f\sim R\cdot V_0/V\). Но у сферического конденсатора поле снаружи равно нулю с обеих сторон системы, и полный «скачок» \(E_{\text{справа}}-E_{\text{слева}}=0\). Первый порядок обязан исчезнуть, остаётся \((V/V_0)^2\).
Фокус отсчитывается от центра сфер: именно там пересекаются продолжения вышедших лучей. Поскольку \(V\ll V_0\), имеем \(f\gg R\), и сферы действительно работают как тонкая линза, расположенная в центре.