Решите задачу 7.2.10 в случае, когда пучок электронов, испускаемых из точки, расположенной на расстоянии \(L\gg R\) от центра сфер, составляет малый угол с нормалью к её поверхности.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В задаче 7.2.10 параллельный пучок (предмет в бесконечности) собирался на расстоянии
\[ f=2R\Bigl(\frac{V_0}{V}\Bigr)^2 \]от центра сфер. Это и есть фокусное расстояние нашей линзы. Сферы малы по сравнению и с \(L\), и с \(f\) (ведь \(V\ll V_0\) и \(R\ll L\)), поэтому их можно считать тонкой линзой, расположенной в начале координат.
Предметное расстояние \(a=L\). Формула линзы
\[ \frac{1}{L}+\frac{1}{x}=\frac{1}{f}\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac{fL}{L-f}=\frac{1}{\,1/f-1/L\,}. \]Изображение лежит на оси за сферами, на расстоянии \(x\) от центра. Если \(L\gg f\), то \(x\approx f\): далёкий источник почти неотличим от параллельного пучка, и мы возвращаемся к ответу 7.2.10. Если \(L\) сравнимо с \(f\), изображение отодвигается дальше — линза «не справляется» со сходящимся пучком так же лихо, как с параллельным.
Условие «малый угол с нормалью» нужно, чтобы лучи были параксиальными относительно радиуса сфер: тогда каждая точка поверхности работает как маленький кусок плоской диафрагмы, и вывод 7.2.10 остаётся в силе.