Один электрод плоского конденсатора является эмиттером электронов, другой состоит из параллельных проволок, промежутки между которыми существенно меньше расстояния \(d\) между электродами. Разность потенциалов между электродами \(V\). Определите разброс электронов, прошедших второй электрод, по «поперечной» энергии, если промежуток между проволоками \(a\), а их толщина \(b\). Начальной скоростью электронов пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Эмиттер — одна обкладка, сетка из проволок — другая. Поле в зазоре \(E=V/d\), за сеткой поля нет. Электрон у сетки имеет энергию \(K=eV\).
Промежуток между осями проволок \(a\), толщина проволоки \(b\), значит ширина щели \(w=a-b\). По сравнению с \(d\) щель узкая, и каждая щель работает как цилиндрическая линза Дависсона. Для щели (двумерная геометрия) формула имеет коэффициент 2 вместо 4:
\[ \frac{1}{f}=\frac{E_2-E_1}{2\Phi}=-\frac{V/d}{2V}=-\frac{1}{2d},\qquad f=-2d. \]Электрон, прошедший на расстоянии \(w/2\) от середины щели (то есть у самого края проволоки), получает угол
\[ \alpha_{\max}=\frac{w/2}{|f|}=\frac{a-b}{4d}. \]Электрон в середине щели не отклоняется, \(\alpha=0\). Поперечная скорость \(v_\perp=v\alpha\), поперечная энергия
\[ K_\perp=\frac{m v_\perp^2}{2}=K\alpha^2. \]Максимальный разброс по поперечной энергии
\[ \Delta K_\perp=eV\cdot\alpha_{\max}^2=eV\cdot\frac{(a-b)^2}{16 d^2}. \]Относительный разброс, который обычно и пишут в ответе,
\[ \frac{\Delta K_\perp}{K}=\frac{(a-b)^2}{16 d^2}. \]В задачнике стоит именно эта безразмерная величина (иногда её обозначают \(\Delta E_\perp\)). Начальной скоростью электронов мы пренебрегли, как велено: вся энергия набрана в зазоре \(d\).