Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора, если ленточный пучок протонов, перпендикулярный обкладкам и прошедший две узкие параллельные щели, сфокусировался на расстоянии \(l\) от второй обкладки. Протоны были ускорены разностью потенциалов \(V_0\). Расстояние между обкладками конденсатора \(d\). Первая обкладка заземлена, \(l\gg d\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ленточный пучок протонов перпендикулярен пластинам и проходит две параллельные щели. Геометрия цилиндрическая: фокусировка только в одной плоскости. Формула тонкой щелевой линзы
\[ \frac{1}{f}=\frac{E_2-E_1}{2\Phi}. \]Поле между пластинами \(E=V/d\), снаружи нуль. Первая щель (первая пластина заземлена, энергия \(eV_0\)):
\[ \frac{1}{f_1}=\frac{V/d}{2V_0}=\frac{V}{2d V_0},\qquad f_1=\frac{2d V_0}{V}. \]Вторая щель (энергия уже \(e(V_0+V)\)):
\[ \frac{1}{f_2}=-\frac{V}{2d(V_0+V)}. \]При \(l\gg d\) обе щели можно сложить как тонкую систему. Суммарная оптическая сила
\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2} =\frac{V}{2d V_0}-\frac{V}{2d(V_0+V)} =\frac{V^2}{2d V_0(V_0+V)}. \]Пучок на входе параллельный, поэтому он собирается на расстоянии \(b=f\) от системы. Но \(l\gg d\), и фокус отсчитывают от второй обкладки: \(b\approx l\). Кроме того, обычно \(V\ll V_0\) (иначе фокус был бы внутри конденсатора, как в 7.2.7). Тогда
\[ \frac{1}{l}\approx\frac{V^2}{2d V_0^2}\qquad\Longrightarrow\qquad V=V_0\sqrt{\frac{2d}{l}}. \]Корень из малого отношения \(d/l\) как раз и подтверждает, что \(V\ll V_0\): приближение согласовано.