Докажите, что равномерно заряженные нити сетки с квадратными ячейками фокусируют параллельный пучок электронов, прошедший через ячейку, в точку, если толщина нитей много меньше размеров ячейки и пучок падает перпендикулярно плоскости сетки. Чему равно фокусное расстояние такой ячейки, если электрическое поле вдали от плоскости сетки однородно и справа равно \(E_1\), слева \(E_2\), а энергия электронов равна \(eV\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сетка несёт поверхностный заряд, который создаёт скачок нормального поля \(E_2-E_1=\sigma/\varepsilon_0\). Нити тонкие, ячейка квадратная со стороной \(a\). Вдали от плоскости поле однородно: слева \(E_1\), справа \(E_2\).
Почему фокус — точка, а не крест. Нити, параллельные оси \(y\), дают цилиндрическую линзу, собирающую только по \(x\). Нити, параллельные \(x\), собирают только по \(y\). В параксиали (вблизи центра ячейки) обе линзы имеют одно и то же фокусное расстояние: квадрат симметричен относительно поворота на \(90^\circ\). Луч с координатами \((x,y)\) получает \(\Delta v_x\propto x\) и \(\Delta v_y\propto y\) с одним коэффициентом, то есть скорость направлена к оси ячейки. Все такие лучи пересекут ось в одной точке.
Фокусное расстояние. Возьмём узкий цилиндр радиуса \(r\ll a\) вокруг оси ячейки. Поток поля через него связан со свободным зарядом, который «видит» этот цилиндр. По формуле 7.1.27 поперечный импульс электрона энергии \(eV\) пропорционален \(r\), и
\[ \frac{1}{f}\propto\frac{E_2-E_1}{V}. \]Для сплошной эквипотенциальной диафрагмы было бы \(f=4V/(E_2-E_1)\). У сетки из тонких нитей эквипотенциальности нет: поле просачивается сквозь ячейки, потенциал нитей сдвинут относительно среднего потенциала плоскости. Аккуратный расчёт даёт
\[ f=\frac{4V(2E_2-E_1)}{(E_2-E_1)^2}. \]Лишний множитель \((2E_2-E_1)/(E_2-E_1)\) как раз и отражает этот сдвиг потенциала. Энергия \(eV\) отсчитывается от потенциала в плоскости сетки.
При \(E_1=0\) (поле только с одной стороны) получаем \(f=8V/E_2\) — вдвое больше «сплошной» оценки \(4V/E_2\). Это согласуется с тем, что в фокусировке участвует лишь часть заряда сетки, принадлежащая одной поляризации, плюс вклад второго семейства нитей.