Одна из пластин плоского конденсатора (катод) является источником электронов. Электрическое поле напряжённости \(E\) между пластинами через равные короткие промежутки времени \(\tau\) меняет знак. За какое время электрон долетит до противоположной пластины (анода)? Расстояние между катодом и анодом \(l\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ускорение электрона по модулю постоянно и равно \(a=eE/m_e\), а направление меняется каждые \(\tau\). Пусть в момент \(t=0\) электрон покоится на катоде, и поле сначала направлено к аноду.
За первый интервал \(\tau\): старт из покоя, путь \(\tfrac12 a\tau^2\), скорость в конце \(v=a\tau\).
За второй интервал поле противоположно: электрон тормозит от \(a\tau\) до нуля. Путь при этом \(a\tau\cdot\tau-\tfrac12 a\tau^2=\tfrac12 a\tau^2\). Суммарное смещение за пару интервалов \(2\tau\)
\[ s=\tfrac12 a\tau^2+\tfrac12 a\tau^2=a\tau^2. \]Средняя скорость
\[ \langle v\rangle=\frac{s}{2\tau}=\frac{a\tau}{2}. \]Это можно сказать и так: половину времени электрон разгоняется от 0 до \(a\tau\), половину — тормозит от \(a\tau\) до 0, среднее по пиле равно половине максимума.
Расстояние до анода \(l\), время полёта (пока \(\tau\) короткое и пил много)
\[ t=\frac{l}{\langle v\rangle}=\frac{2l}{a\tau}=\frac{2m_e l}{eE\tau}. \]Формула годится, только если за один полупериод электрон не долетает: \(\tfrac12 a\tau^2\ll l\), то есть \(\tau\ll\sqrt{2l/a}\).