На рисунке изображены электроды трёхэлектродной плоской лампы. Электроны вылетают из катода 1 под действием поля плоской сетки 2, на которой поддерживается постоянное напряжение \(V\). Напряжение \(\Delta V\) между сетками 2 и 3 через равные промежутки времени \(\tau\) меняет знак на противоположный. Расстояние между сетками 2 и 3 равно \(l\). Определите, какой скоростью будут обладать электроны за второй сеткой, если время \(\tau\): а) много меньше; б) много больше времени пролёта электронами межсеточного промежутка.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
У сетки 2 скорость \(v_0=\sqrt{2eV/m_e}\). Между сетками 2 и 3 поле \(\pm\Delta V/l\), ускорение \(\pm a\), \(a=e\Delta V/(m_e l)\). Время пролёта при постоянном поле порядка \(t_{\text{прол}}\sim l/v_0\).
а. \(\tau\ll t_{\text{прол}}\). За время пролёта поле меняет знак много раз. Как в задаче 7.3.1, среднее ускорение почти нуль, и энергия почти не меняется. Но на входе и на выходе остаётся «хвост» — незавершённый полупериод. За время \(\tau\) импульс меняется на \(e(\Delta V/l)\tau\), то есть добавка к \(v^2\) порядка
\[ \Delta(v^2)\sim 2a\cdot(v\tau)\sim\frac{e\Delta V\tau}{m_e l}. \]В зависимости от фазы влёта эта добавка может быть и плюсом, и минусом. Поэтому скорости за второй сеткой лежат в интервале
\[ \sqrt{\frac{2eV}{m_e}-\frac{e\Delta V\tau}{m_e l}} \le v\le \sqrt{\frac{2eV}{m_e}+\frac{e\Delta V\tau}{m_e l}}. \]Ширина интервала мала по сравнению с \(v_0\), потому что \(\tau/t_{\text{прол}}\ll1\).
б. \(\tau\gg t_{\text{прол}}\). Пока электрон летит, поле не успевает перевернуться. Половина электронов (те, что влетели в «ускоряющую» полуволну) видит разность \(+\Delta V\), половина — \(-\Delta V\). Закон сохранения энергии даёт две скорости:
\[ v_1=\sqrt{\frac{2e(V+\Delta V)}{m_e}},\qquad v_2=\sqrt{\frac{2e(V-\Delta V)}{m_e}}, \]при условии \(\Delta V<V\) (иначе часть электронов развернётся назад к сетке 2).