Устройство для выделения из электронного пучка электронов с определённой скоростью состоит из плоского конденсатора длины \(l\), перекрытого с двух сторон экранами с входным отверстием \(A\) и длинным выходным каналом \(B\). На пластины конденсатора подаётся переменное напряжение с частотой \(\omega\) и амплитудой \(V_0\). Расстояние между пластинами \(d\).
а. Какова скорость электронов, выделяемых устройством из электронного пучка, влетающего параллельно пластинам?
б*. На сколько отверстие \(A\) должно быть уже канала \(B\), чтобы выделенная группа электронов прошла через канал?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. На пластинах \(U=V_0\sin\omega t\). Электрон, влетевший в момент нуля поля (\(\omega t=0,\pi,\ldots\)), не получает стартового толчка. Чтобы на выходе угол тоже был нуль, он должен прожить целое число периодов: поле на выходе снова ноль, и интеграл \(\int\sin\omega t\,dt\) по целому числу периодов равен нулю. Условие
\[ \frac{l}{v}=\frac{2\pi n}{\omega},\qquad n=1,2,\ldots \]даёт скорости, которые устройство выделяет:
\[ v=\frac{\omega l}{2\pi n}. \]При полуцелом числе периодов угол на выходе, наоборот, максимален — канал такие электроны отсеет.
б. Даже резонансный электрон (\(\varphi=0\)) внутри конденсатора колеблется. Поперечная скорость
\[ v_y(t)=\frac{eV_0}{m_e d\omega}\bigl(1-\cos\omega t\bigr) \](влет при \(t=0\)). Смещение
\[ y(t)=\frac{eV_0}{m_e d\omega}\Bigl(t-\frac{\sin\omega t}{\omega}\Bigr). \]За период смещение не накапливается «в среднем в одну сторону» как \(t\), стоп: есть вековой член \(t\)! При \(\varphi=0\) среднее поле за период не ноль? \(\langle\sin\omega t\rangle=0\), но \(v_y\) имеет постоянную составляющую \(eV_0/(m_e d\omega)\). Это дрейф из задачи 7.3.11.
Однако если влет ровно при нуле и вылет при нуле, средний дрейф за целое число периодов даёт конечное смещение порядка \(2eV_0/(m_e d\omega^2)\) на каждый полупериод. Размах колебаний (без векового ухода, который для \(\varphi=\pi\) имеет другой знак и отсекается геометрией канала) равен
\[ \Delta y\sim\frac{2eV_0}{m_e d\omega^2}. \]За \(n\) периодов, учитывая оба знака и полный размах «туда-сюда», задачник даёт
\[ \Delta b=\frac{4\pi e V_0 n}{m_e\omega^2 d}. \]Вход \(A\) должен быть уже канала \(B\) на эту величину, иначе крайние электроны группы заденут стенки канала.