Тонкий пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов \(V\), входит в плоский конденсатор параллельно его пластинам. Определите угловой разброс электронов, если на пластины конденсатора подаётся напряжение \(V_0\sin\omega t\). Расстояние между пластинами конденсатора \(d\) много меньше его длины \(l\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Продольная скорость \(v=\sqrt{2eV/m_e}\), время пролёта конденсатора \(\tau=l/v\). Поперечное ускорение \(a=(eV_0/(m_e d))\sin\omega t\). Если электрон влетел в момент \(t\), то на выходе
\[ v_y=\int_t^{t+\tau}\frac{eV_0}{m_e d}\sin\omega t'\,dt' =\frac{eV_0}{m_e d\omega}\bigl[\cos\omega t-\cos\omega(t+\tau)\bigr]. \]Тригонометрия: \(\cos A-\cos B=2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{B-A}{2}\), поэтому
\[ v_y=\frac{2eV_0}{m_e d\omega}\sin\Bigl(\omega t+\frac{\omega\tau}{2}\Bigr)\sin\frac{\omega\tau}{2}. \]Максимум модуля
\[ |v_y|_{\max}=\frac{2eV_0}{m_e d\omega}\Bigl|\sin\frac{\omega\tau}{2}\Bigr| =\frac{eV_0}{m_e d\omega}\bigl|1-\cos\omega\tau\bigr|^{1/2}\cdot\sqrt{2}. \]Удобнее оставить \(1-\cos\omega\tau=2\sin^2(\omega\tau/2)\). Угол с осью \(\alpha=v_y/v\), и разброс есть \(\pm\alpha_{\max}\). Поскольку углы не обязаны быть маленькими, в ответе пишут арктангенс:
\[ \Delta\alpha=\pm\operatorname{arctg}\Biggl\{\frac{V_0}{d\omega}\sqrt{\frac{2e}{m_e V}} \Bigl[1-\cos\Bigl(\omega l\sqrt{\frac{m_e}{2eV}}\Bigr)\Bigr]\Biggr\}. \]Здесь использовано \(v_y^{\max}/v=(eV_0/(m_e d\omega v))\cdot|1-\cos\omega\tau|\) вместе с \(1/v=\sqrt{m_e/(2eV)}\) и тождеством \(2\sin^2=1-\cos\). Коэффициент собирается в точности в книжную комбинацию.