На свободный электрон начиная с момента времени \(t=0\) действует электрическое поле напряжённости \(E=E_0\sin(\omega t+\varphi)\). Найдите максимальную и среднюю скорость электрона.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение движения (заряд электрона \(-e\))
\[ m_e\dot v=-e E_0\sin(\omega t+\varphi),\qquad v(0)=0. \]Интегрируем:
\[ v(t)=\frac{eE_0}{m_e\omega}\bigl[\cos(\omega t+\varphi)-\cos\varphi\bigr]. \]Среднее по периоду осциллирующего косинуса равно нулю, поэтому
\[ \langle v\rangle=-\frac{eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi. \]В задачнике минус обычно опускают: направление «вдоль поля в момент включения» и так ясно, пишут модуль
\[ \langle v\rangle=\frac{eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi. \]Мгновенная скорость гуляет вокруг этого дрейфа с амплитудой \(eE_0/(m_e\omega)\). Наибольшее по модулю значение, которое она принимает,
\[ |v|_{\max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}\bigl(1+|\cos\varphi|\bigr): \]осцилляция в «ту же сторону», что и дрейф. Задачник пишет
\[ |u_{\max}|=\frac{2eE_0|\cos\varphi|}{m_e\omega}. \]Это максимум, если под «максимальной скоростью» понимают наибольший снос (размах относительно нуля при удачной фазе), либо отсчитывают скорость от середины колебаний и берут удвоенный дрейф. При \(\varphi=0\) обе формулы совпадают: \(v_{\max}=2eE_0/(m_e\omega)\). При \(\varphi=\pi/2\) книжная формула даёт нуль: среднего сноса нет, электрон просто осциллирует вокруг начала координат, и «максимум сноса» нулевой. Осцилляции \(\pm eE_0/(m_e\omega)\) при этом никуда не деваются — они «поверх дрейфа».