Упруго связанный в молекуле электрон имеет резонансную частоту колебаний \(\omega_0\). Коэффициент затухания колебаний \(\gamma\). Найдите установившуюся амплитуду вынужденных колебаний электрона в электрическом поле напряжённости \(E=E_0\sin\omega t\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение движения электрона в молекуле
\[ \ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2 x=-\frac{eE_0}{m_e}\sin\omega t. \](Знак минус — заряд электрона; на амплитуду он не влияет.) Ищем установившееся решение в виде \(x=A\sin(\omega t+\psi)\). Подстановка даёт систему на \(A\) и \(\psi\). Удобнее комплексная запись: сила \(\propto e^{i\omega t}\), \(x=\operatorname{Re}(\tilde A e^{i\omega t})\),
\[ (-\omega^2+2i\gamma\omega+\omega_0^2)\tilde A=-\frac{eE_0}{m_e} \](с точностью до соглашения о фазе синуса). Модуль
\[ A=\frac{eE_0/m_e}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\gamma^2\omega^2}}. \]В задачнике в скобке стоит \(\omega^2-\omega_0^2\) — квадрат тот же. Это и есть искомая установившаяся амплитуда.
Вдали от резонанса, \(\omega\ll\omega_0\), имеем \(A\approx eE_0/(m_e\omega_0^2)\): электрон смещается как пружина под постоянной силой. На резонансе \(\omega=\omega_0\) амплитуда максимальна и равна \(eE_0/(2m_e\gamma\omega_0)\): её ограничивает только затухание.