Определите диэлектрическую проницаемость среды, состоящей из электронов, упруго связанных в молекуле, в электрическом поле напряжённости \(E=E_0\sin\omega t\). Резонансная частота \(\omega_0\), коэффициент затухания \(\gamma\ll\omega_0\), число электронов в единице объёма среды \(n_e\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Из 7.3.14 амплитуда смещения электрона
\[ A=\frac{eE_0/m_e}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\gamma^2\omega^2}}. \]Поляризация среды \(P=n_e\cdot e\cdot A\) (модуль; знак поглощается фазой). В СИ
\[ \varepsilon=1+\frac{P}{\varepsilon_0 E}. \]Вдали от резонанса, где \(\gamma\) не играет роли и смещение синфазно полю,
\[ \varepsilon=1+\frac{n_e e^2}{\varepsilon_0 m_e(\omega_0^2-\omega^2)}. \]С затуханием восприимчивость комплексна:
\[ \varepsilon=1+\frac{n_e e^2/(\varepsilon_0 m_e)}{\omega_0^2-\omega^2-2i\gamma\omega}. \]Задачник работает в СГС и подставляет в \(\varepsilon-1\) именно амплитуду \(A\), а не синфазную компоненту. Тогда
\[ \varepsilon=1+\frac{4\pi n_e e^2}{m_e\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+4\gamma^2\omega^2}}. \]Множитель \(4\pi\) вместо \(1/\varepsilon_0\) — это и есть переход СИ \(\leftrightarrow\) СГС. Вдали от резонанса \(\gamma\) несущественна, и обе формулы совпадают. Вблизи резонанса книжная формула завышает \(\varepsilon-1\): правильно брать действительную часть восприимчивости, а модуль \(A\) описывает скорее амплитуду колебаний, чем вклад в \(\operatorname{Re}\varepsilon\).
При \(\omega\to0\) получаем статическую проницаемость \(\varepsilon=1+n_e e^2/(\varepsilon_0 m_e\omega_0^2)>1\). При \(\omega\to\infty\) электроны «отстают», \(\varepsilon\to1\). Между ними, чуть выше \(\omega_0\), \(\varepsilon\) может стать меньше единицы — аномальная дисперсия.