Чему будет равна скорость двух электронов на расстоянии \(\lambda r\) друг от друга, если они начали разлетаться, находясь на расстоянии \(r\) друг от друга?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В начальный момент электроны покоятся на расстоянии \(r\). Потенциальная энергия пары \[ U_0=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}, \] кинетическая равна нулю. Импульс системы нуль и таким останется: электроны всегда имеют равные по модулю и противоположные скорости.
На расстоянии \(\lambda r\) \[ 2\cdot\frac{m_e v^2}{2}+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\lambda r}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. \]
Отсюда \[ m_e v^2=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\Bigl(1-\frac{1}{\lambda}\Bigr) =\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\cdot\frac{\lambda-1}{\lambda}, \] \[ v=\frac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m_e r}}\,\sqrt{\frac{\lambda-1}{\lambda}}. \]
Тот же ответ получается в системе относительного движения: приведённая масса \(\mu=m_e/2\), относительная скорость \(2v\), энергия \(\mu(2v)^2/2=m_e v^2\) — ровно то, что стоит слева.
Формула имеет смысл при \(\lambda>1\): электроны отталкиваются и разлетаются. Если бы нас спросили про сближение, \(\lambda<1\), подкоренное стало бы отрицательным — из покоя сблизиться нельзя.
Время разлёта в этой задаче не спрашивают: кулоновская сила зависит от расстояния, и \(t=\int dr/\dot r\) берётся эллиптическим интегралом (см. 7.4.19). Скорость как функция расстояния находится сразу, без этого интеграла, — в том и удобство энергетического подхода.