В углах правильного квадрата со стороной \(a\) поместили четыре электрона. Под действием электрических сил электроны разлетаются. Определите их скорости на бесконечности.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Начальная потенциальная энергия — это шесть кулоновских пар: четыре ребра квадрата длины \(a\) и две диагонали длины \(a\sqrt{2}\): \[ U=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\Biggl(\frac{4}{a}+\frac{2}{a\sqrt{2}}\Biggr) =\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}\bigl(4+\sqrt{2}\bigr). \]
(Второе слагаемое: \(2/(a\sqrt{2})=\sqrt{2}/a\).)
Система изолирована, центр масс — центр квадрата — покоится. По симметрии каждый электрон летит вдоль своей диагонали, и на бесконечности у всех четырёх одна и та же скорость \(v\). Кинетическая энергия \[ 4\cdot\frac{m_e v^2}{2}=2m_e v^2. \]
На бесконечности \(U=0\), поэтому \[ 2m_e v^2=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}(4+\sqrt{2}), \] \[ v=\sqrt{\frac{e^2(4+\sqrt{2})}{8\pi\varepsilon_0 m_e a}}. \]
Импульс каждой пары противоположных электронов компенсируется; угловой момент нуль — разлёт чисто радиальной «дыхательной» модой, без вращения квадрата.
Если электроны чуть сдвинуть с идеального квадрата, разлёт перестанет быть строго диагональным: появится мода вращения. На бесконечности скорости тогда будут чуть разными. Условие подразумевает идеальную начальную симметрию, и ответ — общая скорость всех четырёх.