В углах правильного квадрата со стороной \(a\) по диагонали поместили два протона и два позитрона. Оцените отношение скоростей протонов и позитронов на бесконечности. Масса протона в 1840 раз больше массы позитрона, а заряды одинаковы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Четыре одинаковых заряда \(+e\) в квадрате со стороной \(a\): начальная энергия, как в 7.4.2, \[ U=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}(4+\sqrt{2}). \]
По диагоналям сидят два протона и два позитрона. Силы на старте одинаковы, ускорения относятся как \(1:1840\). Пока позитроны проходят путь порядка \(a\), протоны смещаются в \(1840\) раз меньше — для оценки их можно считать прибитыми.
Этап 1. Улетают позитроны. Каждый позитрон уходит на бесконечность в поле двух неподвижных протонов и второго позитрона. На бесконечности позитроны уносят почти всю энергию, кроме протон-протонной пары на диагонали (она ещё не «потрачена»): \[ U_{\text{ост}}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a\sqrt{2}}. \]
Двум позитронам достаётся \[ 2\cdot\frac{m_e v_e^2}{2}\approx U-U_{\text{ост}}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}(4+\sqrt{2}-\tfrac{1}{\sqrt{2}}) =\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}\bigl(4+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr). \]
Отсюда \(m_e v_e^2\sim e^2(4+\sqrt{2}/2)/(4\pi\varepsilon_0 a)\).
Этап 2. Разлетаются протоны. Они делят оставшуюся энергию диагонали: \[ 2\cdot\frac{m_p v_p^2}{2}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a\sqrt{2}},\qquad m_p v_p^2\sim\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a\sqrt{2}}. \]
Отношение скоростей \[ \frac{v_p}{v_e}\sim\sqrt{\frac{m_e}{m_p}}\cdot\sqrt{\frac{1/\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}/2}} \approx\frac{1}{\sqrt{1840}}\cdot\sqrt{\frac{0{,}71}{4{,}71}} \approx0{,}023\cdot0{,}39\approx0{,}009. \]
Более аккуратный раздел энергии (позитроны на лету ещё работают против протонов) даёт книжную оценку \[ \frac{v_p}{v_e}\approx\sqrt{\frac{m_e}{m_p}\cdot\frac{1}{4\sqrt{2}+1}}\approx 0{,}01. \]
Порядок \(10^{-2}\): протоны на бесконечности в сто раз медленнее позитронов. Для оценки этого достаточно.