Из бесконечности навстречу друг другу с одинаковой скоростью \(v\) движутся два электрона. Определите минимальное расстояние, на которое они сблизятся.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Из бесконечности электроны летят навстречу с равными скоростями \(v\). Центр масс покоится (или движется равномерно — выберем систему, где он покоится). Каждый имеет кинетическую энергию \(m_e v^2/2\), вместе \(m_e v^2\); потенциальная энергия на бесконечности нуль.
На минимальном расстоянии \(r_{\min}\) относительная скорость обращается в нуль: дальше сближаться некуда, отталкивание победило. Оба электрона в СЦМ остановились. Закон сохранения энергии \[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=m_e v^2, \] \[ r_{\min}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v^2}. \]
В лабораторной системе, если один электрон вначале покоился, а второй летел со скоростью \(2v\), ответ тот же: приведённая масса \(\mu=m_e/2\), относительная скорость \(2v\), энергия относительного движения \(\mu(2v)^2/2=m_e v^2\).
Это классический «радиус наибольшего сближения». Для электрона с энергией 1 кэВ он порядка \(10^{-12}\) м — ещё далеко от комптоновской длины, классика работает.
В лабораторной системе оба электрона в момент остановки (в СЦМ) всё ещё едут вместе со скоростью центра масс — но если система выбрана так, что СМ покоится, они и вправду останавливаются. Через мгновение отталкивание разгонит их в обратные стороны: это упругое лобовое столкновение, скорости меняются на противоположные. Минимальное расстояние проходится ровно один раз.