С большого расстояния навстречу друг другу со скоростью соответственно \(v_1\) и \(v_2\) движутся два электрона. Определите минимальное расстояние, на которое они сблизятся.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Лабораторные скорости навстречу \(v_1\) и \(v_2\). Скорость центра масс \[ V_{\text{см}}=\frac{v_1-v_2}{2} \] (если положительные \(v_1,v_2\) направлены друг на друга). Относительная скорость \[ v_{\text{отн}}=v_1+v_2. \]
Приведённая масса \(\mu=m_e/2\). Энергия относительного движения на бесконечности \[ E_{\text{отн}}=\frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}=\frac{m_e}{4}(v_1+v_2)^2. \]
На минимальном расстоянии \(\dot r=0\), момент импульса нуль (лобовое), поэтому вся \(E_{\text{отн}}\) сидит в потенциале: \[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=\frac{m_e(v_1+v_2)^2}{4}, \] \[ r_{\min}=\frac{e^2}{\pi\varepsilon_0 m_e(v_1+v_2)^2}. \]
Энергия центра масс \(M V_{\text{см}}^2/2\) в баланс сближения не входит: её нельзя потратить на преодоление отталкивания.
Можно не вводить приведённую массу, а работать в лаборатории. В момент наибольшего сближения оба электрона имеют одну и ту же скорость \(V_{\text{см}}=(v_1-v_2)/2\) (относительная скорость нуль), и \[ 2\cdot\frac{m_e V_{\text{см}}^2}{2}+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=\frac{m_e v_1^2}{2}+\frac{m_e v_2^2}{2}. \] Слева кинетическая энергия центра масс, справа — полная начальная. Разность как раз \(m_e(v_1+v_2)^2/4\), и мы возвращаемся к той же формуле.