По направлению к центру первоначально неподвижного заряженного шара с большого расстояния движется второй заряженный шар. Заряды распределены по поверхности шаров равномерно. Какой скоростью должен обладать движущийся шар, чтобы столкнуться с первым? Масса, заряд, радиус первого шара \(m_1,\,q_1,\,R_1\). Параметры второго шара \(m_2,\,q_2,\,R_2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Второй шар летит из бесконечности со скоростью \(v\) на центр первого. Первый покоится. Заряды одноимённые (иначе столкновение произойдёт при любой скорости). Снаружи равномерно заряженные сферы взаимодействуют как точки в центрах — это теорема Ньютона для \(1/r^2\).
Приведённая масса \(\mu=m_1 m_2/(m_1+m_2)\). Энергия относительного движения на бесконечности \(\mu v^2/2\). В момент касания расстояние между центрами \(R_1+R_2\), и на пороге \(\dot r=0\): \[ \frac{\mu v^2}{2}=\frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0(R_1+R_2)}. \]
Отсюда \[ v=\sqrt{\frac{q_1 q_2(m_1+m_2)}{2\pi\varepsilon_0 m_1 m_2(R_1+R_2)}}. \]
Коэффициент \(2\pi\), не \(4\pi\): двойка из \(\mu v^2/2\) сокращается с четвёркой. Если скорость больше пороговой, шары столкнутся «с разгона»; если меньше — подойдут на расстояние больше \(R_1+R_2\) и разлетятся.
После касания (если заряды не перескакивают) задача уже другая: сферы деформируются или отскакивают механически. Условие спрашивает только порог, чтобы столкновение вообще произошло. Мы считали заряды закреплёнными на поверхностях: если шары проводящие, заряд при сближении перетечёт к дальним полюсам, эффективное отталкивание ослабнет, и пороговая скорость уменьшится.