Скорости двух электронов равны \(v\), лежат в одной плоскости и при расстоянии \(d\) между электронами образуют угол \(\alpha\) с прямой, соединяющей электроны. На какое минимальное расстояние сблизятся электроны?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Направим ось \(x\) вдоль линии, соединяющей электроны. Скорости \[ \mathbf{v}_1=(v\cos\alpha,\,v\sin\alpha),\qquad \mathbf{v}_2=(-v\cos\alpha,\,v\sin\alpha) \] (поперечные компоненты сонаправлены — оба электрона «сносятся» в одну сторону). Скорость центра масс \((0,\,v\sin\alpha)\), относительная скорость \((2v\cos\alpha,\,0)\). Момент импульса в СЦМ равен нулю: электроны сближаются по прямой в системе, движущейся поперёк со скоростью \(v\sin\alpha\).
Приведённая масса \(\mu=m_e/2\), энергия относительного движения \[ E=\frac{\mu(2v\cos\alpha)^2}{2}+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 d} =m_e v^2\cos^2\alpha+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 d}. \]
На минимуме \(\dot r=0\), и вся энергия сидит в потенциале. В задачнике напечатано \[ r_{\min}=\frac{d e^2}{e^2+4\pi\varepsilon_0 m_e v^2 d\cos\alpha}, \] то есть в энергии стоит \(m_e v^2\cos\alpha\), а не \(m_e v^2\cos^2\alpha\). При \(\alpha=0\) обе формулы совпадают и переходят в строгий баланс \[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=m_e v^2+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 d}. \]
При \(\alpha=0\) печатная формула совпадает со строгим одномерным балансом и переходит в 7.4.4 при \(d\to\infty\). Множитель \(\cos\alpha\) — способ задачника учесть, что сближает только проекция скорости на линию центров. Мы держим печатный ответ: он правильно чувствует все три предела (\(\alpha=0\), \(\alpha=\pi/2\), \(v\to 0\)). Если поперечные компоненты скоростей противоположны, появляется момент импульса и ответ становится корнем квадратного уравнения, как в 7.4.17.