Два электрона находятся на расстоянии \(r\) друг от друга, причём скорость одного из них равна нулю, а скорость другого направлена под острым углом к линии, соединяющей электроны. Каким будет угол между скоростями электронов, когда они вновь окажутся на расстоянии \(r\) друг от друга?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть в лаборатории электрон 2 покоится, электрон 1 имеет скорость \(\mathbf{u}_0\) под острым углом к линии центров. Скорость центра масс \(\mathbf{V}=\mathbf{u}_0/2\) постоянна. Относительная скорость \(\mathbf{u}=\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2\), \(|\mathbf{u}|\) зависит только от расстояния (энергия \(E=\mu u^2/2+e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)\) сохраняется), поэтому на сфере \(r=\mathrm{const}\) модуль \(u\) тот же, что вначале.
Лабораторные скорости \[ \mathbf{v}_1=\mathbf{V}+\frac{\mathbf{u}}{2},\qquad \mathbf{v}_2=\mathbf{V}-\frac{\mathbf{u}}{2}. \]
Их скалярное произведение \[ \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=V^2-\frac{u^2}{4}. \]
Но \(V=u_0/2\) и на этой сфере \(u=u_0\) (потенциал тот же), поэтому \[ \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=0. \]
Угол между скоростями равен \(\pi/2\). Начальный острый угол «какой был» не важен: сработал только факт равных масс и равенство \(r\).
Геометрически это та же теорема, что в бильярде: после упругого удара равных шаров, один из которых покоился, они разлетаются под прямым углом. Кулоновская сила центральная и консервативная — «удар» растянут во времени, но на одной потенциальной поверхности вход и выход зеркальны, и теорема жива.