С большого расстояния к металлической плоскости движется тело массы \(m\), имеющее заряд \(q\). Определите скорость тела в тот момент, когда оно будет находиться на расстоянии \(d\) от плоскости. Начальная скорость тела равна нулю, его размеры много меньше \(d\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Метод изображений: чтобы потенциал плоскости был нулём, под ней на глубине \(x\) сажают заряд \(-q\). Поле в полупространстве \(x>0\) совпадает с полем этой пары. Сила, действующая на реальный заряд, равна силе со стороны изображения: \[ F=-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 (2x)^2}=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 x^2} \] (притяжение к плоскости).
Потенциальная энергия — это работа против этой силы, а не \(q\varphi_{\text{изобр}}\). Потенциал изображения в точке заряда равен \(-q/(4\pi\varepsilon_0\cdot 2x)\), и \(q\varphi_{\text{изобр}}=-q^2/(8\pi\varepsilon_0 x)\). Но половина поля «принадлежит» фиктивному заряду, которого нет; правильно \[ U(x)=\frac12 q\varphi_{\text{изобр}}=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 x}. \]
То же даёт интеграл: \(U(\infty)-U(x)=\int_x^\infty |F|\,dx'=q^2/(16\pi\varepsilon_0 x)\), и \(U(\infty)=0\).
На бесконечности тело покоится, \(K=0\), \(U=0\). На расстоянии \(d\) \[ \frac{mv^2}{2}=\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 d},\qquad v=\sqrt{\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 m d}}. \]
Размеры тела много меньше \(d\), поэтому его можно считать точечным: высшие мультиполи изображения не нужны.