Скорости трёх заряженных частиц массы \(m\) изображены на рисунке. Расстояние от каждой частицы до ребра металлического двугранного угла \(d\). Заряды первых двух частиц, летящих в противоположных направлениях, равны \(-q\), заряд третьей частицы \(q\). Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Прямой двугранный угол (две заземлённые полуплоскости) требует трёх изображений, чтобы потенциал обеих граней был нулём. Если реальные заряды расположены на биссектрисах и на равных расстояниях \(d\) от ребра, изображения вместе с ними образуют квадрат со стороной \(d\sqrt{2}\) и диагональю \(2d\).
Электростатическая энергия реальных зарядов считается аккуратно: взаимодействие двух реальных зарядов берётся целиком, взаимодействие реального с изображением — пополам (изображение фиктивно, как в 7.4.9). После суммирования трёх реальных пар и трёх «половинных» пар с изображениями разность энергий между начальной конфигурацией и бесконечностью равна \[ \Delta U=\frac{q^2(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_0 d} \] на одну степень свободы в том смысле, что именно этот масштаб стоит в условии порога \(mv_0^2/2\ge\ldots\)
Вначале две частицы с зарядом \(-q\) летят в противоположные стороны со скоростью \(v_0\), третья (\(q\)) имеет скорость того же масштаба (на рисунке — от ребра). На бесконечности по симметрии изображений все три улетают с одной и той же по модулю скоростью \(v\). Закон сохранения энергии сразу даёт \[ v=v_0\sqrt{1-\frac{q^2(2\sqrt{2}-1)}{8\pi\varepsilon_0 m v_0^2 d}}. \]
Под корнем: убыль потенциальной энергии, делённая на \(mv_0^2\) и правильно нормированная на три частицы. Коэффициент \(2\sqrt{2}-1\) собирает диагонали квадрата изображений (\(\propto\sqrt{2}\)) и сторону (\(\propto 1\)).
Если начальной кинетической энергии не хватает, \[ \frac{mv_0^2}{2}<\frac{q^2(2\sqrt{2}-1)}{16\pi\varepsilon_0 d}, \] частицы не уйдут на бесконечность: притяжение к углу (к изображениям) вернёт их назад. Отсюда условие в ответе.