В одной из моделей иона \(\mathrm{H}_2^+\) электрон движется по круговой орбите, лежащей в плоскости симметрии иона. Расстояние между протонами \(R\). Найдите скорость, с которой движется электрон по орбите радиуса \(r\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Протоны тяжёлые и сидят неподвижно на расстоянии \(R\). Электрон в плоскости симметрии на расстоянии \(r\) от оси. Расстояние до каждого протона \[ \rho=\sqrt{r^2+\Bigl(\frac{R}{2}\Bigr)^2}. \]
Сила притяжения к одному протону \(e^2/(4\pi\varepsilon_0\rho^2)\). Её проекция на радиус орбиты (от оси к электрону, к центру окружности) получается умножением на \(r/\rho\): \[ F_r=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\rho^2}\cdot\frac{r}{\rho}=\frac{e^2 r}{4\pi\varepsilon_0\rho^3}. \]
Два протона дают удвоенную силу. Уравнение кругового движения \[ \frac{m_e v^2}{r}=\frac{2e^2 r}{4\pi\varepsilon_0\rho^3}=\frac{e^2 r}{2\pi\varepsilon_0\bigl(r^2+R^2/4\bigr)^{3/2}}. \]
Отсюда \[ v=\sqrt{\frac{e^2 r^2}{2\pi\varepsilon_0 m_e(r^2+R^2/4)^{3/2}}}. \]
Умножим числитель и знаменатель под корнем на 8, чтобы убрать дробь в скобке: \(r^2+R^2/4=(4r^2+R^2)/4\), \((r^2+R^2/4)^{3/2}=(4r^2+R^2)^{3/2}/8\), и \[ v=\sqrt{\frac{4e^2 r^2}{\pi\varepsilon_0 m_e(4r^2+R^2)^{3/2}}}. \]
Орбита лежит в плоскости симметрии не случайно: только там вертикальные компоненты сил уничтожаются, и электрон не уезжает к одному из протонов. Смещение из плоскости неустойчиво — это одна из причин, почему классическая модель \(\mathrm{H}_2^+\) не заменяет квантовую, а служит лишь оценкой масштаба скорости.