Вокруг тяжёлого ядра с зарядом \(Ze\) на расстоянии \(r\) вращается по круговой орбите электрон. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, чтобы он оторвался от ядра?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сила притяжения к ядру \(Ze^2/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\) даёт центростремительное ускорение: \[ \frac{m_e v^2}{r}=\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\qquad\Longrightarrow\qquad K=\frac{m_e v^2}{2}=\frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \]
Потенциальная энергия \[ U=-\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r}=-2K. \]
Полная механическая энергия \[ \mathcal{E}=K+U=-K=-\frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \]
На бесконечности \(U=0\), и чтобы электрон мог там оказаться хоть с нулевой скоростью, нужно \(\mathcal{E}\ge 0\). Минимальная добавка \[ K_{\min}=-\mathcal{E}=\frac{Ze^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \]
Это энергия ионизации в классической модели. После толчка орбита становится параболой (при точном пороге) или гиперболой (если дали больше).
Ядро тяжёлое — отдачей пренебрегаем. Если бы ядро было лёгким, часть энергии ушла бы в движение центра масс, и порог вырос бы; это задача 7.4.14.
Численно для водорода: \(e^2/(4\pi\varepsilon_0)=1{,}44\ \text{эВ}\cdot\text{нм}\), при \(r=0{,}053\ \text{нм}\) получаем \(K_{\min}=13{,}6\ \text{эВ}\). Чтобы выбить электрон из более глубокой орбиты, нужна большая добавка: \(K_{\min}\propto 1/r\). Если сообщить ровно порог, электрон уйдёт на бесконечность с нулевой скоростью — парабола; любая лишняя порция делает гиперболу.