Расстояние между электроном и позитроном в позитронии \(r\). Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, чтобы позитроний распался?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Приведённая масса \(\mu=m_e/2\). На круговой орбите радиуса \(r\) \[ \frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2},\qquad K_{\text{отн}}=\frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \]
Каждая частица в СЦМ имеет скорость \(v=v_{\text{отн}}/2\) и кинетическую энергию \(e^2/(16\pi\varepsilon_0 r)\). Полная энергия \[ \mathcal{E}=-K_{\text{отн}}=-\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}. \]
Скорость электрона мгновенно увеличивают в \(n\) раз, направление то же. Порог развала из 7.4.14 при \(m=M\): \[ n_{\min}=\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}-1. \]
Добавленная кинетическая энергия \[ \Delta K=(n^2-1)\cdot\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0 r}. \]
Считаем \(n^2=(2\sqrt{2}-1)^2=8-4\sqrt{2}+1=9-4\sqrt{2}\), \(n^2-1=8-4\sqrt{2}=4(2-\sqrt{2})\). Тогда \[ \Delta K=4(2-\sqrt{2})\cdot\frac{e^2}{16\pi\varepsilon_0 r} =\frac{e^2(2-\sqrt{2})}{4\pi\varepsilon_0 r}. \]
Если бы энергию можно было вложить «в относительное движение», хватило бы \(|\mathcal{E}|=e^2/(8\pi\varepsilon_0 r)\). Реальная добавка больше: \(2-\sqrt{2}\approx 0{,}586\) против \(0{,}5\) в единицах \(e^2/(2\pi\varepsilon_0 r)\) — плата за отдачу позитрона.
Скорость электрона после толчка \(n v\), позитрона — по-прежнему \(v\) (в СЦМ до толчка). Импульс системы \(m_e(n-1)v\) уезжает вместе с центром масс. На развал работает только то, что осталось в относительном движении. Поэтому порог выше «наивной» энергии связи \(e^2/(8\pi\varepsilon_0 r)\): часть добавки выброшена в общий полёт пары.