Две частицы массы \(m\) и \(M\) с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы \(m\) мгновенно увеличивают в \(n\) раз, не изменяя её направления. При каком минимальном \(n\) частицы после этого разлетятся?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Расстояние между частицами \(r\), приведённая масса \(\mu=mM/(m+M)\), \(k=1/(4\pi\varepsilon_0)\). На круговой орбите \(kq^2/r^2=\mu\omega^2 r\). Скорости относительно центра масс \[ v_m=\frac{\mu}{m}\omega r,\qquad v_M=\frac{\mu}{M}\omega r, \] и \(m v_m=M v_M\). Полная энергия \(\mathcal{E}=-kq^2/(2r)\).
После толчка скорость частицы \(m\) стала \(n v_m\), направление то же (тангенциально). Импульс системы \[ P=m(n-1)v_m, \] энергия центра масс \(P^2/(2(m+M))\). Полная энергия после толчка \[ E=\frac{m(n v_m)^2}{2}+\frac{M v_M^2}{2}-\frac{kq^2}{r}. \]
Энергия относительного движения \(E_{\text{отн}}=E-P^2/(2(m+M))\). Развал при \(E_{\text{отн}}\ge 0\).
Подставляем \(v_m^2=(\mu/m^2)\,kq^2/r\) и собираем коэффициент при \(kq^2/(2r)\). После алгебры (удобно обозначить \(s=n-1\)) условие \(E_{\text{отн}}\ge 0\) сводится к \[ s\ge(\sqrt{2}-1)\frac{m+M}{M}, \] \[ n_{\min}=\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)\frac{m}{M}. \]
Структура ответа прозрачна. Член \(\sqrt{2}\) — это «как для неподвижного центра»: чтобы с круговой орбиты выйти на параболу, скорость нужно увеличить в \(\sqrt{2}\) раз. Добавка \((\sqrt{2}-1)m/M\) — плата за отдачу лёгкого «ядра» \(M\): чем меньше \(M\), тем больше надо дать.