На покоящийся протон налетает из бесконечности другой протон со скоростью \(v\). Прицельный параметр \(\rho\). Определите, на какое расстояние они сблизятся.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Мишень покоится, налетающий протон имеет скорость \(v\) и прицельный параметр \(\rho\). Приведённая масса \(\mu=m_p/2\), энергия относительного движения \[ E=\frac{\mu v^2}{2}=\frac{m_p v^2}{4}, \] момент \(L=\mu v\rho\).
Эффективный потенциал \[ U_{\text{эф}}(r)=\frac{L^2}{2\mu r^2}+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. \]
На минимуме \(\dot r=0\), поэтому \(U_{\text{эф}}(r_{\min})=E\): \[ \frac{\mu v^2\rho^2}{2r^2}+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}=\frac{\mu v^2}{2}. \]
Умножаем на \(2r^2/(\mu v^2)\): \[ \rho^2+\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0\mu v^2}\,r=r^2. \]
Введём длину \[ a=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\mu v^2}=\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 m_p v^2} \] (половина «лобового» радиуса сближения из 7.4.4, потому что здесь энергия вдвое меньше симметричной пары со скоростью \(v\)). Квадратное уравнение \(r^2-2ar-\rho^2=0\), положительный корень \[ r_{\min}=a+\sqrt{a^2+\rho^2} =\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 m_p v^2} +\sqrt{\rho^2+\Bigl(\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 m_p v^2}\Bigr)^2}. \]
Это ближайшая точка гиперболы Резерфорда.
Тот же корень получается из эксцентриситета гиперболы. Для кулоновского отталкивания \(r=a(\varepsilon\cosh\chi-1)\) с \(a=k/(2E)\) и \(\varepsilon=\sqrt{1+2EL^2/(\mu k^2)}\); минимум \(r_{\min}=a(\varepsilon-1)\). Подставляя \(E=\mu v^2/2\) и \(L=\mu v\rho\), приходим к \(a+\sqrt{a^2+\rho^2}\) с тем же \(a=e^2/(2\pi\varepsilon_0 m_p v^2)\).