Две одинаковые частицы с зарядом \(q\) и скоростями \(u\) и \(v\), лежащими в одной плоскости, составляющими соответственно углы \(\alpha\) и \(\beta\) с линией, их соединяющей, находятся на расстоянии \(l\) друг от друга. Определите массу частиц, если известно, что минимальное расстояние, на которое они сближаются, равно \(r\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Относительная скорость. Проекция на линию центров (сближение) \(u\cos\alpha+v\cos\beta\), поперечная \(u\sin\alpha-v\sin\beta\). Квадрат относительной скорости \[ v_{\text{отн}}^2=u^2+v^2+2uv\cos(\alpha+\beta), \] если углы отложены так, что продольные компоненты навстречу (как обычно рисуют). Приведённая масса \(\mu=m/2\), момент относительно центра масс \[ L=\mu\, l\,(u\sin\alpha-v\sin\beta). \]
Энергия относительного движения в начальный момент \[ E=\frac{\mu}{2}v_{\text{отн}}^2+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l}. \]
На минимуме \(r\) радиальная скорость нуль: \[ \frac{L^2}{2\mu r^2}+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r}=E. \]
Подставляем \(L\) и \(\mu=m/2\): \[ \frac{m}{4}\cdot\frac{l^2}{r^2}(u\sin\alpha-v\sin\beta)^2+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r} =\frac{m}{4}\bigl[u^2+v^2+2uv\cos(\alpha+\beta)\bigr]+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l}. \]
Переносим кулоновские члены влево, кинетические — вправо, и решаем относительно \(m\): \[ \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{l}\Bigr) =\frac{m}{4}\Biggl[u^2+v^2+2uv\cos(\alpha+\beta)-\frac{l^2}{r^2}(u\sin\alpha-v\sin\beta)^2\Biggr], \] \[ m=\frac{4q^2(l-r)}{rl\Bigl[u^2+v^2+2uv\cos(\alpha+\beta)-(l^2/r^2)(u\sin\alpha-v\sin\beta)^2\Bigr]}. \]
Знаменатель должен быть положителен: иначе заявленное \(r\) не может быть минимумом при данных углах (момент слишком велик, центробежный барьер не пускает так близко).