Два заряда поместили на расстоянии \(l\) друг от друга и отпустили. Через время \(t_0\) расстояние между зарядами удвоилось. Эти же заряды поместили на расстоянии \(3l\) и отпустили. Через какое время расстояние между зарядами удвоится?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Относительное движение двух зарядов, отпущенных из покоя: \[ \mu\ddot r=\frac{\alpha}{r^2},\qquad \alpha=\frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0} \] (одноимённые, разлетаются). Замена \(r=\ell\xi\), \(t=\ell^{3/2}\tau\) сводит уравнение к универсальному \[ \xi''=\frac{c}{\xi^2} \] с начальными условиями \(\xi(0)=1\), \(\xi'(0)=0\). Время удвоения (\(\xi\) от 1 до 2) в безразмерных единицах — одно и то же число \(I\), поэтому \[ t=I\cdot\ell^{3/2}. \]
Первый опыт: старт с \(l\), удвоение до \(2l\) за время \(t_0\), значит \(t_0=I\cdot l^{3/2}\).
Второй опыт: старт с \(3l\), удвоение до \(6l\) — тот же фактор 2, тот же интеграл \(I\), \[ t=I\cdot(3l)^{3/2}=3\sqrt{3}\,t_0. \]
Явно тот же вывод из квадратуры. Энергия \(E=\alpha/R\) (старт из покоя с расстояния \(R\)), \[ t=\int_R^{2R}\frac{dr}{\sqrt{(2/\mu)(\alpha/R-\alpha/r)}} =\sqrt{\frac{\mu R^3}{2\alpha}}\int_1^2\frac{d\xi}{\sqrt{1-1/\xi}}=R^{3/2}\cdot\mathrm{const}. \]
В задачнике напечатано \(2\sqrt{2}\,t_0\). Это было бы верно, если стартовать с \(2l\) (после первого удвоения) и ждать ещё одного удвоения до \(4l\): \((2)^{3/2}=2\sqrt{2}\). Условие говорит «поместили на расстоянии \(3l\)» — держим \(3\sqrt{3}\,t_0\). Самоподобие не зависит от знака зарядов (лишь бы они разлетались) и от того, равны массы или нет: приведённая масса сидит в константе \(I\), которая сокращается в отношении времён.