Частица массы \(m\), имеющая заряд \(q\), движется с большого расстояния по направлению к центру равномерно заряженной незакреплённой сферы. Радиус сферы \(R\), её заряд \(Q\), масса \(M\). Какой скоростью должна обладать частица на большом расстоянии от сферы, чтобы через небольшие отверстия пролететь сквозь неё? \(qQ>0\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Это та же механика, что в 7.1.17, только спрашивают не время пролёта, а минимальную скорость на бесконечности. Приведённая масса \(\mu=mM/(m+M)\). На бесконечности энергия \(\mu v^2/2\). На поверхности сферы потенциальная энергия \(qQ/(4\pi\varepsilon_0 R)\).
Порог — относительная скорость на поверхности равна нулю: \[ \frac{\mu v^2}{2}=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R},\qquad v=\sqrt{\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 R m M}}. \]
При \(v\) больше порога частица входит внутрь с ненулевой \(v_{\text{отн}}\) и, поскольку внутри сила не зависит от положения (поле нуль), проходит диаметр и выходит с другой стороны.
При \(qQ<0\) барьера нет, есть яма. Любая скорость, хоть нулевая, приведёт к падению на сферу; если отверстия нацелены, частица пройдёт насквозь, набрав скорость в яме. Книга: любая скорость при \(qQ<0\).
Отверстия «небольшие» — значит, они не портят поле сферы и не выпускают заряд. Частица должна попасть точно в отверстие: при ненулевом прицельном параметре её закрутит, и она стукнется о стенку. Порог в ответе — необходимое условие по энергии; достаточность требует ещё прицеливания в дырку.