Частица массы \(m\), имеющая заряд \(q\), со скоростью \(v_0\) приближается с большого расстояния к заряженному незакреплённому кольцу, двигаясь по его оси. Радиус кольца \(R\), заряд \(Q\), масса \(M\). Вначале кольцо покоится. Чему будет равна скорость частицы, когда она будет проходить через центр кольца?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Потенциал тонкого кольца на оси в центре \(Q/(4\pi\varepsilon_0 R)\). Закон сохранения энергии \[ \frac{mv^2}{2}+\frac{MU^2}{2}+\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R}=\frac{mv_0^2}{2}, \] закон сохранения импульса (вдоль оси) \[ mv+MU=mv_0. \]
Выразим \(U=(mv_0-mv)/M\) и подставим. Удобнее в переменных \(V_{\text{см}}=mv_0/(m+M)\) и \(v_{\text{отн}}=v-U\): \[ \frac{\mu v_{\text{отн}}^2}{2}=\frac{\mu v_0^2}{2}-\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R},\qquad \mu=\frac{mM}{m+M}. \]
Отсюда \[ v_{\text{отн}}=\sqrt{v_0^2-\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 R m M}}. \]
Лабораторная скорость частицы — это скорость центра масс плюс доля относительной, приходящаяся на неё: \[ v=V_{\text{см}}+\frac{M}{m+M}v_{\text{отн}} =\frac{mv_0}{m+M}+\sqrt{\Bigl(\frac{Mv_0}{m+M}\Bigr)^2-\frac{qQM}{2\pi\varepsilon_0 R m(m+M)}}. \]
Перед корнем плюс: частица летит в ту же сторону, что и вначале, и обгоняет центр масс. Минус соответствовал бы отражению от кольца (частица уже летит назад в СЦМ).
Если подкоренное отрицательно, до центра не добраться: отталкивание отражает пару раньше.
Кольцо не сфера: поле на оси \(E_z=Qz/(4\pi\varepsilon_0(z^2+R^2)^{3/2})\) меняет знак в центре, и центр — максимум потенциала (для \(qQ>0\)). Поэтому, пройдя центр, частица снова разгоняется. Скорость в центре — минимальная скорость частицы на оси, если отталкивание; при притяжении — максимальная.