Частица массы \(m\), имеющая заряд \(q\), приближается с большого расстояния к равномерно заряженному незакреплённому шару, двигаясь по направлению к центру шара. Радиус шара \(R\), заряд \(Q\), масса \(M\). Вначале шар покоится. Какую наименьшую скорость должна иметь частица на большом расстоянии от шара, чтобы пройти через его центр?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Потенциал однородного шара (относительно бесконечности) \[ \varphi(r)=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^3}(3R^2-r^2)\quad(r\le R),\qquad \varphi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}\quad(r\ge R). \]
На поверхности \(\varphi=Q/(4\pi\varepsilon_0 R)\), в центре \(\varphi=3Q/(8\pi\varepsilon_0 R)\) — в полтора раза больше. Потенциальная энергия частицы \(U=q\varphi\), в центре \[ U(0)=\frac{3qQ}{8\pi\varepsilon_0 R}. \]
Чтобы дойти до центра и там остановиться относительно шара, \[ \frac{\mu v^2}{2}=\frac{3qQ}{8\pi\varepsilon_0 R},\qquad \mu=\frac{mM}{m+M}, \] \[ v=\sqrt{\frac{3qQ(m+M)}{4\pi\varepsilon_0 m M R}}. \]
Коэффициент: \(2\cdot 3/(8\pi)=6/(8\pi)=3/(4\pi)\). При \(qQ\le 0\) центр — минимум, а не барьер: достаточно любой (хоть нулевой) скорости, частица свалится в центр. Книга: \(v=0\).
Отличие от сферы (7.4.20): там барьер на поверхности \(qQ/(4\pi\varepsilon_0 R)\), здесь в центре в 1,5 раза выше — внутри шара поле ещё продолжает тормозить одноимённую частицу.
Почему барьер именно в центре, а не на поверхности? Внутри однородного шара поле \(E(r)=Qr/(4\pi\varepsilon_0 R^3)\) растёт к периферии, но потенциал — интеграл поля от бесконечности: снаружи он растёт как \(1/r\), внутри продолжает расти параболически к центру. Одноимённая частица, пробившая поверхность, всё ещё тормозится, пока не дойдёт до середины. Поэтому порог в 1,5 раза выше поверхностного \(qQ/(4\pi\varepsilon_0 R)\).