Три одинаковых одноимённо заряженных шарика, имеющие заряд \(q\) и массу \(m\), соединены невесомыми, нерастяжимыми и непроводящими нитями длины \(l\). Одну из нитей пережигают. Определите максимальную скорость шариков.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вначале равносторонний треугольник, три нити, потенциальная энергия \[ U_0=3\cdot\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l}. \]
Пережгли одну сторону. Остались две нити — «угол». По симметрии средний шарик (противолежащий пережжённой стороне) движется вдоль биссектрисы, крайние — зеркально. Нити натянуты, пока угол при среднем не станет развёрнутым.
В линии расстояния \(l\), \(l\) и \(2l\): \[ U= \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{2}{l}+\frac{1}{2l}\Bigr)=\frac{5q^2}{8\pi\varepsilon_0 l}. \]
Убыль \[ \Delta U=U_0-U=\frac{6q^2}{8\pi\varepsilon_0 l}-\frac{5q^2}{8\pi\varepsilon_0 l} =\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 l} \]
идёт в кинетическую. Центр масс покоится.Куда направлены скорости в момент выпрямления? Обозначим \(v_{\text{п}}\) — скорость среднего шарика (того, что напротив пережжённой нити), \(v_{\text{кр}}\) — скорость крайних. Средний по симметрии всё время едет вдоль биссектрисы, а она в момент выпрямления перпендикулярна цепочке. Скорости крайних в этот момент тоже перпендикулярны цепочке: нити нерастяжимы, поэтому скорость крайнего шарика относительно среднего может быть направлена только поперёк своей нити, а нить сейчас лежит вдоль цепочки. Итак, все три скорости — вдоль одной прямой, поперёк вытянувшейся цепочки: средний — «вперёд», крайние — назад.
Сохранение импульса: \(mv_{\text{п}}=2mv_{\text{кр}}\), то есть \(v_{\text{п}}=2v_{\text{кр}}\). Сохранение энергии: \[ \frac{mv_{\text{п}}^2}{2}+2\cdot\frac{mv_{\text{кр}}^2}{2}=\Delta U \ \Longrightarrow\ \frac34\,mv_{\text{п}}^2=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 l}, \] \[ v_{\text{п}}=\sqrt{\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0 ml}},\qquad v_{\text{кр}}=\frac{v_{\text{п}}}2=\sqrt{\frac{q^2}{24\pi\varepsilon_0 ml}}. \]
Почему максимум именно в линии? Расстояние между крайними шариками там наибольшее (\(2l\)), потенциальная энергия минимальна, а кинетическая — максимальна; дальше цепочка складывается в зеркальный треугольник, заряды сближаются, и всё тормозится. Для среднего шарика момент выпрямления — максимум скорости.