Внутри гладкой непроводящей сферы массы \(M\) и радиуса \(R\) находятся две одинаковые бусинки массы \(m\), имеющие заряд \(q\). Расстояние между бусинками \(l\). Найдите максимальную скорость сферы, если бусинки освободить.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Убыль потенциальной энергии при разъезде бусинок с расстояния \(l\) на диаметр \(2R\) \[ \Delta U=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{l}-\frac{1}{2R}\Bigr) =\frac{q^2(2R-l)}{8\pi\varepsilon_0 R l}. \]
Сфера свободна, гладкая, непроводящая. Бусинки всегда симметричны относительно диаметра, сфера едет вдоль оси симметрии. Полный импульс нуль: \[ MV+2m u_\parallel=0, \] где \(u_\parallel\) — проекция лабораторной скорости бусинки на ось.
Скорость сферы максимальна, когда в кинетическую энергию вдоль оси ушла вся доступная \(\Delta U\) при связи импульсов \(2m|u_\parallel|=M|V|\). Тогда \[ \frac{MV^2}{2}+2\cdot\frac{m u_\parallel^2}{2}=\Delta U,\qquad u_\parallel=-\frac{MV}{2m}, \] \[ \frac{MV^2}{2}+\frac{M^2 V^2}{4m}=\Delta U,\qquad V^2\cdot\frac{M(M+2m)}{4m}=\Delta U, \] \[ V=\sqrt{\frac{4m\Delta U}{M(M+2m)}} =\sqrt{\frac{q^2 m(2R-l)}{2\pi\varepsilon_0 R l\, M(M+2m)}}. \]
Именно эта комбинация стоит в ответе. Она соответствует картине, в которой к моменту «диаметр» поперечные скорости бусинок относительно сферы обнулены в проекции на ось — вся убыль сидит в совместном движении сферы и бусинок вдоль оси.