На горизонтальной плоскости на расстоянии \(R\) друг от друга поместили два тела массы \(m\), имеющие заряд \(Q\). В результате электрического взаимодействия тела начинают двигаться по плоскости. Какое расстояние пройдёт каждое из тел, если коэффициент трения тел о плоскость равен \(\mu\)? Какую максимальную скорость приобретут тела в процессе движения?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Два одинаковых заряда \(Q\) и массы \(m\) на шероховатой плоскости, старт с расстояния \(R\). Каждое тело проходит путь \(x\), конечное расстояние \(R+2x\). Работа трения на двух телах \(2\cdot\mu mg\cdot x\). Убыль потенциала \[ \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+2x}\Bigr)=2\mu mg\, x. \]
Это квадратное на \(x\). Один корень \(x=0\) (не сдвинулись), второй \[ x=\frac{R}{2}\Biggl(\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0\mu mg R^2}-1\Biggr). \]
Чтобы тела вообще поехали, нужно \(Q^2/(4\pi\varepsilon_0 R^2)>\mu mg\): начальная кулоновская сила больше трения покоя. Иначе \(x=0\).
Скорость максимальна, когда равнодействующая нуль: \(Q^2/(4\pi\varepsilon_0 r_*^2)=\mu mg\), то есть на расстоянии \[ r_*=\frac{Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0\mu mg}}. \]
Баланс энергии от \(R\) до \(r_*\). Каждое тело прошло \((r_*-R)/2\), работа трения \(2\mu mg\cdot(r_*-R)/2=\mu mg(r_*-R)\): \[ mv_{\max}^2=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_*}\Bigr)-\mu mg(r_*-R). \]
Подставляем \(Q^2/(4\pi\varepsilon_0)=\mu mg\, r_*^2\) и упрощаем: \[ v_{\max}^2=\mu g r_*^2\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_*}\Bigr)-\mu g(r_*-R) =\mu g\Biggl(\frac{r_*^2}{R}-2r_*+R\Biggr) =\mu g R\Bigl(\frac{r_*}{R}-1\Bigr)^2, \] \[ v_{\max}=\sqrt{\mu g R}\Biggl(\frac{Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0\mu mg R^2}}-1\Biggr). \]