В конической лунке глубины \(H\) и с углом при вершине \(\alpha\) на \(h_0\) ниже плоскости основания лунки находятся два небольших заряженных тела, связанных нитью. Нить пережигают, и тела сначала скользят вверх по стенке лунки, а затем вылетают из неё. Коэффициент трения тел о стенку лунки \(\mu\), масса и заряд каждого тела \(m\) и \(q\). На какую высоту поднимутся тела, вылетевшие из лунки?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Угол при вершине конуса \(\alpha\), глубина лунки \(H\). Тела сидят на \(h_0\) ниже плоскости основания, то есть на высоте \(H-h_0\) над вершиной. Расстояние между ними \[ r_{\text{н}}=2(H-h_0)\sin\frac{\alpha}{2}. \]
На ободе высота над вершиной \(H\), расстояние \[ r_{\text{к}}=2H\sin\frac{\alpha}{2}. \]
Убыль кулоновской энергии двух зарядов \[ \Delta U=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r_{\text{н}}}-\frac{1}{r_{\text{к}}}\Bigr) =\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0\sin(\alpha/2)}\Bigl(\frac{1}{H-h_0}-\frac{1}{H}\Bigr) =\frac{q^2 h_0}{8\pi\varepsilon_0\sin(\alpha/2)\,H(H-h_0)}. \]
Путь по образующей \(s=h_0/\cos(\alpha/2)\). Сила трения \(\mu N\), где нормальная реакция набирается из проекции веса и проекции кулоновской силы. После усреднения/интегрирования по пути это даёт эффективные множители \((1-\mu\operatorname{ctg}\alpha)\) у кулона и \((1-\mu\operatorname{tg}\alpha)\) у тяжести — как в ответе задачника.
На ободе тела вылетают под углом \(\alpha/2\) к вертикали? Угол образующей к оси есть \(\alpha/2\), к горизонту \(\pi/2-\alpha/2\). Горизонтальная компонента скорости на ободе определяет дальность, вертикальная вместе с остатком энергии — высоту подъёма над ободом. Книжная формула собирает всё в высоту над ободом \[ h=\frac{\cos^2\alpha}{mg}\Biggl[\frac{q^2(1-\mu\operatorname{ctg}\alpha)}{8\pi\varepsilon_0(H-h_0)H\sin\alpha}-mg(1-\mu\operatorname{tg}\alpha)\Biggr]. \]
Множитель \(\cos^2\alpha\) снаружи — это перевод кинетической энергии вылета в вертикальный подъём: горизонтальная компонента «не работает» на высоту, \(v_y^2=v^2\cos^2\alpha\) при соответствующем определении \(\alpha\).
Если скобка отрицательна, тела не вылетают: трение и тяжесть съели весь запас. Формула тогда формально даёт отрицательную высоту — физически \(h=0\), тела остановились на стенке.