Два заряженных шара массы \(m\), имеющих заряд \(q\), соединяют недеформированной пружиной длины \(l\) и отпускают. Спустя некоторое время возникшие колебания шаров из-за трения в пружине прекратились и шары оказались на расстоянии \(2l\) друг от друга. Определите количество теплоты, которое выделилось в пружине.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вначале пружина не деформирована, длина \(l\), шары покоятся: \[ U_e=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l},\qquad U_{\text{пр}}=0. \]
В конце расстояние \(2l\), шары снова покоятся (трение съело колебания). Равновесие: \[ \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 (2l)^2}=\kappa\cdot l \qquad\Longrightarrow\qquad \kappa=\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^3}. \]
Упругая энергия \[ U_{\text{пр}}=\frac{\kappa l^2}{2}=\frac{q^2}{32\pi\varepsilon_0 l}. \]
Кулоновская энергия в конце \(q^2/(4\pi\varepsilon_0\cdot 2l)=q^2/(8\pi\varepsilon_0 l)\). Полная потенциальная \[ U_{\text{кон}}= \frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 l}+\frac{q^2}{32\pi\varepsilon_0 l} =\frac{5q^2}{32\pi\varepsilon_0 l}. \]
Тепло — убыль: \[ W=U_{\text{нач}}-U_{\text{кон}} =\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l}-\frac{5q^2}{32\pi\varepsilon_0 l} =\frac{8q^2-5q^2}{32\pi\varepsilon_0 l} =\frac{3q^2}{32\pi\varepsilon_0 l}. \]
Масса \(m\) в ответ не вошла: от неё зависит период колебаний, но не тепло, выделенное при переходе между двумя состояниями покоя.
Промежуточные колебания на тепло не влияют: трение в пружине диссипирует ровно разность потенциалов между стартом и финальным равновесием, независимо от того, сколько раз шары качнулись. Если трение очень мало, они качнутся много раз, но сумма порций тепла всё равно \(3q^2/(32\pi\varepsilon_0 l)\). Если трение велико и движение апериодическое — тот же итог.