При колебании двух заряженных шариков, связанных с пружиной, длина пружины меняется от \(l_1\) до \(l_2\). Длина недеформированной пружины \(l_0\), заряд каждого шарика \(q\). Определите жёсткость пружины.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Два одинаковых заряда связаны пружиной, центр масс покоится, достаточно следить за длиной \(l\). В точках поворота \(l=l_1\) и \(l=l_2\) кинетическая энергия нуль: \[ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{l_1}+\frac{\kappa}{2}(l_1-l_0)^2 =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{l_2}+\frac{\kappa}{2}(l_2-l_0)^2. \]
Переносим: \[ \frac{\kappa}{2}\Bigl[(l_2-l_0)^2-(l_1-l_0)^2\Bigr] =\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{l_1}-\frac{1}{l_2}\Bigr). \]
Разность квадратов \((l_2-l_1)(l_1+l_2-2l_0)\), разность обратных \((l_2-l_1)/(l_1 l_2)\). Сокращаем \(l_2-l_1\) (если \(l_1\neq l_2\)): \[ \frac{\kappa}{2}(l_1+l_2-2l_0)=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l_1 l_2}, \] \[ \kappa=\frac{q^2}{2\pi\varepsilon_0 l_1 l_2(l_1+l_2-2l_0)}. \]
В задачнике в числителе стоит \((l_1+l_2+2l_0)\) — другая комбинация, не согласующаяся с равенством энергий. Правильный знаменатель \(l_1+l_2-2l_0\) есть удвоенное среднее удлинение: \((l_1-l_0)+(l_2-l_0)\). Если равновесие лежит посередине между \(l_1\) и \(l_2\), это как раз \(2(l_{\text{равн}}-l_0)\).
Знаменатель должен быть положителен: оба конца по одну сторону от \(l_0\) быть не могут, если заряды отталкиваются (пружина в среднем растянута). Если \(l_1+l_2<2l_0\), заряды притягиваются либо пружина в среднем сжата — другая постановка.