Сфера массы \(m\), имеющая заряд \(q\), в результате взрыва распадается на большое число одинаковых осколков, скорость которых в момент взрыва равна \(v\) и направлена вдоль радиуса сферы. Определите максимальную скорость осколков.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Собственная электростатическая энергия тонкой сферы \[ W_e=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} \] (это \(\tfrac12 q\varphi\), \(\varphi=q/(4\pi\varepsilon_0 R)\)). Начальная кинетическая энергия осколков \(\tfrac12 m v^2\). На бесконечности потенциал нуль, вся энергия — кинетическая \(\tfrac12 m v_{\max}^2\): \[ \frac{m v_{\max}^2}{2}=\frac{m v^2}{2}+\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}, \] \[ v_{\max}=v\sqrt{1+\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 R m v^2}}. \]
Осколков много и они одинаковы, разлетаются строго по радиусам — симметрия не даёт им обмениваться энергией неравномерно: у всех одна и та же \(v_{\max}\). «Большое число» нужно, чтобы можно было не следить за дискретными парными столкновениями и пользоваться энергией сплошной сферы.
Взрыв сам по себе сообщает скорость \(v\); кулон потом добавляет своё. Если \(v=0\) (сфера просто «рассыпали»), \(v_{\max}=\sqrt{q^2/(4\pi\varepsilon_0 R m)}\) — вся электростатическая энергия ушла в разлёт.
Осколки одинаковы и их много — можно заменить сумму парных взаимодействий энергией сплошной сферы. Если осколков мало (два полушария), самодействие другое, и ответ сменится численным коэффициентом. Радиус \(R\) в условии — радиус сферы в момент взрыва, пока осколки ещё не разлетелись.