Две одинаковые капли ртути радиуса \(R\) летят навстречу друг другу, имея на большом расстоянии скорость \(v\). Происходит столкновение, в результате которого капли сливаются в одну. Определите количество выделившейся при столкновении теплоты, если: а) капли имеют разноимённые заряды \(Q\) и \(-Q\); б) одна капля имеет заряд \(-q\), другая \(Q\). Плотность ртути \(\rho\), поверхностное натяжение \(\sigma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Масса одной капли \(m=\tfrac43\pi R^3\rho\). В системе центра масс капли летят навстречу со скоростями \(v\), кинетическая энергия \[ K=2\cdot\frac{mv^2}{2}=\frac43\pi R^3\rho v^2. \]
После слияния объём удваивается, радиус новой капли \(R'=R\cdot 2^{1/3}\). Поверхностная энергия: было \(2\cdot 4\pi R^2\sigma\), стало \(4\pi R'^2\sigma=4\pi R^2 2^{2/3}\sigma\). Убыль \[ \Delta W_{\sigma}=4\pi R^2\sigma\bigl(2-2^{2/3}\bigr). \]
а. Заряды \(+Q\) и \(-Q\). Электрическая энергия двух далёких капель \[ W_e=2\cdot\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R} \] (взаимодействие на бесконечности нуль). Результат нейтрален, \(W_e'=0\). Вся электрическая энергия идёт в тепло. Итого \[ W=\frac43\pi R^3\rho v^2+\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}+4\pi R^2\sigma(2-2^{2/3}). \]
б. Заряды \(Q\) и \(-q\). Было \[ W_e=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}+\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}. \] Стало на капле радиуса \(R\cdot 2^{1/3}\) с зарядом \(Q-q\) \[ W_e'=\frac{(Q-q)^2}{8\pi\varepsilon_0 R\cdot 2^{1/3}}. \]
Тепло \[ W=\frac43\pi R^3\rho v^2+\frac{Q^2+q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} -\frac{(Q-q)^2}{8\pi\varepsilon_0 2^{1/3}R} +4\pi R^2\sigma(2-2^{2/3}). \]
Мы считаем столкновение абсолютно неупругим: относительная кинетическая энергия целиком гасится. Это оправдано для слияния жидких капель.