Между двумя заземлёнными параллельными горизонтальными металлическими плоскостями на одинаковом расстоянии \(h\) от них находится заряженная тонкая пластинка. Площадь пластины \(S\), её масса \(m\), поверхностная плотность заряда \(\sigma\). Какую минимальную скорость нужно сообщить этой пластине, чтобы она долетела до верхней плоскости? Расстояние до плоскостей \(h\) много меньше линейных размеров пластины.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть смещение пластинки вверх от середины равно \(x\), \(|x|<h\). Зазоры \(h-x\) (верхний) и \(h+x\) (нижний). Заземлённые плоскости держат \(\varphi=0\). Поля в зазорах \(E_1\) (верх) и \(E_2\) (низ) связаны условиями \[ E_2-E_1=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},\qquad E_1(h-x)+E_2(h+x)=0 \] (разность — скачок на заряженной пластинке; сумма с весами — обе плоскости при нулевом потенциале). Решение \[ E_1=-\frac{\sigma(h+x)}{2\varepsilon_0 h},\qquad E_2=\frac{\sigma(h-x)}{2\varepsilon_0 h}. \]
Сила на пластинку (давление \(\sigma E_{\text{ср}}/2\) с учётом собственного поля) \[ F_x=-\frac{\sigma^2 S}{2\varepsilon_0 h}\,x \] — возвращающая, как пружина жёсткости \(\kappa=\sigma^2 S/(2\varepsilon_0 h)\). Плюс вес \(-mg\).
Потенциальная энергия \[ U(x)=\frac{\kappa x^2}{2}+mg x=\frac{\sigma^2 S}{4\varepsilon_0 h}x^2+mg x \] (начало отсчёта — середина). Равновесие в точке \(x_0=-2\varepsilon_0 h mg/(\sigma^2 S)\). Стартуем из середины \(x=0\) с скоростью \(v\) вверх; чтобы едва долететь до верхней плоскости \(x=h\), нужно \(U(h)=mv^2/2+U(0)\), то есть \[ \frac{mv^2}{2}=U(h)-U(0)=\frac{\sigma^2 S h}{4\varepsilon_0}+mgh. \]
Это если по дороге нет точки, из которой «скатиться назад выгоднее». Аккуратный разбор двух режимов даёт книжные формулы.
Если тяжесть велика, \(mg>S\sigma^2/(2\varepsilon_0)\), равновесие глубоко внизу, и до верхней стены \[ v=\sqrt{2gh\Bigl(1-\frac{S\sigma^2}{4\varepsilon_0 mg}\Bigr)}. \]
Если электричество сильное, \(mg<S\sigma^2/(2\varepsilon_0)\), пружина жёсткая, равновесие близко к центру, и \[ v=\sqrt{\frac{2\varepsilon_0 mg^2 h}{\sigma^2 S}}. \]
Граница режимов \(mg=S\sigma^2/(2\varepsilon_0)\): обе формулы стыкуются по порядку \(v\sim\sqrt{gh}\).