Внутри закреплённого проводящего незаряженного шара радиуса \(R\) имеется сферическая полость радиуса \(r\), центр которой совпадает с центром шара. Какую минимальную скорость необходимо сообщить находящейся в центре частице массы \(m\), имеющей заряд \(q\), чтобы, пройдя через тонкий канал в шаре, она ушла на большое расстояние от него?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Шар закреплён, в целом незаряжен, полость концентрическая. Заряд \(q\) в центре. Наведённый заряд на поверхности полости \(-q\) (поле в толще проводника нуль: гауссов сфера между \(r\) и \(R\)). На внешней поверхности тогда \(+q\).
Поле в полости. Собственное поле точечного \(q\) плюс поле равномерного слоя \(-q\) на сфере радиуса \(r\). Равномерный слой внутри себя поля не даёт, поэтому в полости \(E\) — как у точечного заряда. Но заряд сидит в центре, и нас интересует потенциал, а не сила (сила в центре нуль по симметрии).
Потенциал удобно считать от бесконечности. Снаружи шар выглядит как незаряженный (полный заряд 0), \(\varphi(\infty)=0\), \(\varphi(R)=0\)? Нет: снаружи заряд \(+q\) на \(R\), полный заряд шара с «гостем» внутри есть \(q\) (гость ещё не вышел). Пока частица в полости, \[ \varphi(R)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}. \]
Между \(r\) и \(R\) поля нет (заряд внутри гауссовой поверхности \(q+(-q)=0\)), поэтому \(\varphi(r)=\varphi(R)\). Внутри полости потенциал равномерного слоя постоянен и равен \(\varphi(r)\). Однако у самого точечного заряда потенциал расходится. Движение заряда в поле наведённых зарядов определяется потенциалом, созданным именно ими: \[ \varphi_{\text{навед}}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}. \]
Энергия взаимодействия с наведённым зарядом в задачнике берётся как \(q\varphi_{\text{навед}}\) (поле проводника «внешнее» по отношению к нашей частице, потенциал проводника успевает подстроиться). Тогда в центре \[ U=q\varphi_{\text{навед}}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\Bigr)<0: \] наведённый \(-q\) притягивает. На бесконечности, когда частица ушла, шар нейтрален и невозмущён, \(U=0\). Барьер — вылезти из этой ямы: \[ \frac{mv^2}{2}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\Bigr), \] \[ v=\sqrt{\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 m}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\Bigr)}. \]
Канал тонкий и проходит через проводник: пока частица в канале, она едет в области \(\varphi=\mathrm{const}\) толщи проводника и не меняет кинетическую энергию, весь набор/сброс происходит на выходе с внешней поверхности на бесконечность и на выходе из полости в толщу.